Módulo 1 - Operaciones sobre Números Racionales

(Este texto fue traducido del libro "Lecture Notes on Mathematical Olympiad Courses", de Xu Jiagu. Anexo una breve introducción de mi parte)


(Para hacer más grandes los símbolos matemáticos, da clic derecho sobre alguna expresión y aparecerá un menú con la opción de hacer zoom)

1. Introducción

Los números tienen una clasificación. Uno inicia con los números naturales: 1, 2, 3, etc. Con estos números podemos hacer sumas y obtener nuevamente números naturales. Sin embargo, si hacemos restas podemos obtener números que no son naturales, y la clasificación se extiende a los números enteros: -2, 1, 0, etc. Estos números al sumarse y restarse siguen dando resultados enteros. Pero al momento de hacer divisiones, a veces se obtienen números que no son enteros. Y aquí entran en juego los números racionales.

Los números racionales son los números de la forma \(a / b\), en donde \(a\) y \(b \neq 0\) son enteros. Cuando uno quiere hacer referencia a tooodos los números racionales, se escribe una qu chistosa: \(\mathbb{Q}\). Así pues, para decir que un número \(x\) es racional, podemos escribir: \(x \in \mathbb{Q}\).


Existen varios problemas que tienen que ver con números racionales. Algunos de ellos se pueden transformar a problemas de teoría de números (por la forma que tienen estos peculiares números racionales), y otros se pueden resolver utilizando algunas mañas aritméticas y algebraicas. Como me decían en la carrera: uno debe de ir agarrando colmillo, y eso se consigue con práctica.

A continuación se presentan algunas fórmulas, ejemplos y ejercicios relacionados con números racionales. Nota: Procura comprobar las fórmulas. Intenta resolver los ejemplos antes de ver su solución, y también busca otro camino cuando sea posible.

2. Fórmulas Básicas

1. Reglas Básicas de Suma, Resta, Multiplicación y División

Ley Conmutativa: \( a+b = b+a,\quad ab = ba\).

Ley Asociativa: \( (a+b)+c = a+(b+c) ,\quad (ab)c=a(bc)\).

Ley Distributiva: \( ac+bc = (a+b)c = c(a+b)\).

2. Reglas para Quitar Paréntesis

Para cualesquiera números racionales \(x\), \(y\):

1. \(x+(y)=x+y,\quad x+(-y)=x-y\).
2. \(x-(y)=x-y,\quad x-(-y)=x+y\).
3. \(x\times (-y)=-xy,\quad (-x)\times y = -xy,\quad (-x)\times (-y) = xy,\quad (-1)^n = -1\) si \(n\) es impar, \((-1)^n=1\) si \(n\) es par.
4. Si los denominadores de las siguientes expresionaes son distintos a cero, entonces
   \[ \frac{x}{-y} = - \frac{x}{y},\quad \frac{-x}{y} = - \frac{x}{y},\quad \frac{-x}{-y} = \frac{x}{y} \]

3. Caminos Ingeniosos para Hacer Cuentas

• Algunas sumas telescópicas se pueden hacer usando estas expresiones:
  \[ \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}, \]
  \[ \frac{1}{k(k+m)} = \frac{1}{m} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+m} \right), \]
  \[ \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)} \right]. \]
• Utilizando algunas de estas fórmulas:
  \[ (a \pm b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \]
  \[ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \]
  \[ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) \]
  \[ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) \]

3. Ejemplos

Ejemplo 1. 
Evalúa \( \displaystyle (-5)^2 \times \left( -\frac{1}{5} \right)^3 - 2^3 \div \left( -\frac{1}{2} \right)^2 - (-1)^{1999} \).

Solución
\( \displaystyle (-5)^2 \times \left( -\frac{1}{5} \right)^3 - 2^3 \div \left(-\frac{1}{2} \right)^2 - (-1)^{1999} \)

\( \displaystyle = 5^2 \times \left( -\frac{1}{125}\right) - 8 \div \frac{1}{4} - (-1)  \)

\( \displaystyle = -\frac{1}{5} - 8 \times 4 + 1 = -\frac{1}{5} - 31 = -31 \frac{1}{5}. \)

Ejercicio 1. 
¿Cuál de las siguientes cinco expresiones es mayor?

1. \( \displaystyle (2 \times 2 \times 5 \times 7) \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} \right)\).
2. \( (-0.125)^7 \cdot 8^8\).
3. \( (-11) + (-33) - (-55) - (-66) - (-77) - (-88)\).
4. \(  \displaystyle \left( - \frac{75}{13} \right)^2 + \left( \frac{37}{13} \right)^2\).
5. \(  \displaystyle \left[ \left(-\frac{6}{7}\right)^7 + \left(-\frac{4}{5}\right)\times \left(-\frac{4}{9}\right)\times \frac{16}{81} \right] \times \left( 9 \frac{246}{247} - 0.666\right)\).

Ejercicio 2. 
¿Cuánto vale \( 123456789 \times 999999999 \)?

Tip: \( 999999999 = 1000000000 - 1\).

Ejemplo 2. 
Calcula el valor de \( \displaystyle \frac{13579}{(-13579)^2 + (-13578)(13580)}\).

Solución
Utilizando \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\), tenemos que

\[ \frac{13579}{(-13579)^2 + (-13578)(13580)} \]
\[ = \frac{13579}{(13579)^2 - (13579 - 1)} = 13579 \].

Ejercicio 3. 
Calcula el valor de \( \displaystyle \frac{83^3 + 17^3}{83 \times 66 + 17^2}\).

Ejercicio 4. 
Evalúa la siguiente expresión:

\[ \frac{ (4\times 7 + 2)(6\times 9 + 2)(8\times 11 + 2)\cdots (100\times 103 + 2) }{ (5\times 8 + 2)(7\times 10 + 2)(9\times 12 + 2)\cdots (99\times 102 + 2) } \].

Tip: \(n(n+3)+2 = n^2+3n+2\).

Ejemplo 3. 
¿Cuánto vale \( \displaystyle \frac{20092008^2}{20092007^2 + 20092009^2 - 2}\)?

Solución

\[ \frac{20092008^2}{20092007^2 + 20092009^2 - 2} \]
\[ = \frac{20092008^2}{(20092007^2 - 1) + (20092009^2 - 1)} \]
\[ = \frac{20092008^2}{(20092006)(20092008) + (20092008)(20092010)} \]
\[ = \frac{20092008^2}{(20092008)(20092006 + 20092010)} \]
\[ = \frac{20092008^2}{2(20092008^2)} = \frac{1}{2}\].

Ejemplo 4. 
Calcula el valor de la siguiente expresión:

\[ 3 - \frac{1}{2} - \frac{1}{6} - \frac{1}{12} - \frac{1}{20} - \frac{1}{30} - \frac{1}{42} - \frac{1}{56}\].

Solución

\[ 3 - \frac{1}{2} - \frac{1}{6} - \frac{1}{12} - \frac{1}{20} - \frac{1}{30} - \frac{1}{42} - \frac{1}{56}\]
\[ = 3 - \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{42} + \frac{1}{56}\right)\]
\[ = 3 - \left( \frac{1}{1\times 2} + \frac{1}{2\times 3} + \frac{1}{3\times 4} + \frac{1}{4\times 5} + \frac{1}{5\times 6} + \frac{1}{6\times 7} + \frac{1}{7\times 8}\right)\]
\[ = 3 - \left[ \left(1 - \frac{1}{2} \right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \right) + \cdots + \left(\frac{1}{7} - \frac{1}{8} \right) \right]\]
\[ 3 - \left(1 - \frac{1}{8}\right) = 2 \frac{1}{8}\].

Ejercicio 5. 
Evalúa la siguiente expresión:

\[ \frac{1}{3} + \frac{1}{15} + \frac{1}{35} + \frac{1}{63} + \frac{1}{99} + \frac{1}{143} \].

Ejercicio 6. 
Si \(ab < 0\), determinar cuál de los números \((a-b)^2\) y \((a+b)^2\) es mayor.

4. Preguntas de Prueba (Parte A)

1. Evalúa \( -1 - (-1)^1 - (-1)^2 - (-1)^3 - \cdots - (-1)^{99} - (-1)^{100} \).
2. Evalúa \( 2008 \times 20092009 - 2009 \times 20082008 \).
3. Al número 2009 réstale la mitad, luego réstale un tercio a lo que quedó, luego un cuarto a lo que quedó, y así sucesivamente, hasta restarle un 2009-avo a lo que quedó. ¿Qué número queda al final?
4. Encuentra el valor de la suma \( \displaystyle \frac{1}{5\times 7} + \frac{1}{7\times 9} + \frac{1}{9\times 11} + \frac{1}{11\times 13} + \frac{1}{13\times 15} \).
5. Encuentra el valor de la suma \( \displaystyle \frac{1}{10} + \frac{1}{40} + \frac{1}{88} + \frac{1}{154} + \frac{1}{238} \).
6. Evalúa la siguiente expresión:
   \[ \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{2009}\right)\left(1+\frac{1}{2}+\ldots + \frac{1}{2008}\right) \]
   
   \[ - \left( 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{2009} \right) \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{2008} \right)\].
7. Encuentra el valor de la suma \( \displaystyle \frac{1}{1+2} + \frac{1}{1+2+3} + \ldots + \frac{1}{1+2+\cdots+51} \).
8. Sea \(n\) un entero positivo. Encuentra el valor de la siguiente expresión:
   \[ 1 + \frac{1}{2} + \frac{2}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{2}{3} + \frac{3}{3} + \frac{2}{3} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n} + \frac{2}{n} + \ldots + \frac{n}{n} + \frac{n-1}{n} + \ldots + \frac{1}{n} \].
9. Evalúa: \(1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \cdots - 2008^2 + 2009^2\).
10. Encuentra el valor de la suma:
    \[ 11 + 192 + 1993 + 19994 + 199995 + 1999996 + 19999997 + 199999998 + 1999999999 \].

Recompensa: 

100 EXP por hacer al menos un ejercicio/problema. 

1000 EXP por hacer todos los ejercicios y problemas.

Próximamente la parte B de preguntas de prueba.