Tarea 1 (Rumbo al Nacional)

¡Ya está lista la primera tarea! Los seleccionados deberán resolverlos de acuerdo a lo siguiente:

• Si el siguiente entrenamiento inicia el 14 de septiembre, deberán de llevar resueltos al menos 12 problemas. El resto de los problemas serían para el segundo entrenamiento.
• En cambio, si el siguiente entrenamiento inicia el 21 de septiembre, deberán llevar resueltos todos los problemas.

Evidentemente, con "llevar resueltos" nos referimos a llevarlos redactados. ¡Éxito!

http://bit.ly/tareaommbc1

Módulo 3 - Principio de Inclusión-Exclusión

A lo largo de los entrenamientos, nos hemos topado con varios problemas de conteo. Hemos visto, sin embargo, un tipo peculiar de estos problemas, en donde al hacer nuestras cuentas nos dábamos cuenta (jaja, valga la redundancia) de que estábamos contando de más, a lo cual teníamos que realizar una resta. Inclusive, hay uno que otro problema del Módulo 2 - Separadores que necesita de esta idea de restar lo que estamos contando de más. En este pequeño módulo veremos ejemplos, ejercicios y problemas de ese estilo, cuya solución se basará en un principio de combinatoria básico pero útil en este tipo de situaciones. Este se llama Principio de Inclusión-Exclusión.

Módulo 2 - Separadores

Este es un pequeño tema de combinatoria que a veces se ve en entrenamientos, a veces se ve con un ejemplo, y a veces no se ve. El siguiente texto pretende ser un ligero apoyo al estudiante interesado en este "nuevo" tema sobre contar cosas. La idea detrás de esta forma de contar quizá sea rara a primera vista, pero ya a segunda vista no parece tan descabellada (y hasta podría llegar a ser intuitiva, pero es cuestión de que el estudiante relacione adecuadamente los conceptos básicos).

Introducción a la Inducción Matemática

(Este texto pretende ser sólo una breve introducción a una nueva técnica de demostración para algunos de ustedes. Es un fragmento del libro "Principios de Olimpiada" de Alejandro Illanes, y tiene puntos importantes que se deben tener en cuenta para los nuevos; dichos puntos se pondrán en negritas. Las notas que tengan (*) son de mi parte.)


El principio de inducción para los números naturales (1, 2, 3, ...) podría enunciarse así:

Si empezáramos en el 1 y contáramos de uno en uno, entonces recorreríamos todos los números naturales.

Por supuesto, esto ya lo sabíamos desde que éramos niños. Lo que es útil es poderlo traducir a un planteamiento matemático que se pueda usar para demostrar propiedades de estos números. La dificultad se centra en poder decir qué significa la frase "contar de uno en uno". Observemos que el enunciado se puede traducir así:

Reto 3 - Combinatorics Frenzy

Problema 1. 
Sean n y m enteros mayores que 1. Sea S un conjunto con n elementos, y sean \( A_1, A_2, \ldots, A_m \) subconjuntos de S. Supongamos que para cualesquiera dos elementos x, y de S existe un conjunto \( A_i \) tal que pasa exactamente una de las siguientes cosas:

• x está en \(A_i\) pero y no está en \(A_i\).
• y está en \(A_i\) pero x no está en \(A_i\).

Demuestra que \( n \leq 2^m\).

Problema 2. 
Un número par de personas están sentadas alrededor de una mesa. En un momento, todas las personas se levantan de su lugar para ir a comer, para luego regresar a la mesa y sentarse en la mesa de nuevo (no necesariamente en el mismo orden). Demuestra que hay dos personas que tienen la misma cantidad de personas entre ellas tanto antes como después de la comida.

Recompensa: 500 EXP

Reto 2 - Tres Áreas, Tres Problemas

Problema 1. 
Muestra que el área de un triángulo equilátero de lado d es igual a
\[ \frac{d^2 \sqrt{3}}{4}. \]

Problema 2. 
Factoriza \( a^4 + 4b^4 \).


Nota: La factorización de esta suma se conoce como identidad de Sophie-Germain. Sophie-Germain fue una matemática ejemplar. Para conocer un poco más de ella: http://mate.uprh.edu/museo/mujeres/sophie.htm. (Yo la ubico como la Sor Juana de las matemáticas, pero no tienen mucha relación en sí.)

Problema 3. 
Demuestra que
\[ \binom{n}{0}^2 + \binom{n}{1}^2 + \ldots + \binom{n}{n}^2 = \binom{2n}{n} \]

Recompensa: 150 EXP