¡Hola! Encontré el esbozo de mi solución del problema 3 de la olimpiada de mayo del 2012. La idea es que vean el problema, lo intenten resolver, y después vean la solución para compararla con la de ustedes.
¿Qué dice el problema?
Problema.
En el triángulo
ABC, se verifica que \(\angle B = 2 \angle A\) y \(\angle A > 90^{\circ}\). Llamamos
M al punto medio de
BC. La perpendicular por
C al lado
AC corta a la recta
AB en el punto
D. Demuestra que \(\angle AMB = \angle DMC\).
Esbozo de Solución.
La primera idea que se me vino a la mente cuando vi el problema fue lo siguiente: después de ver que había un punto medio en
BC, y que
ABC era caaasi un triángulo isósceles, tracé un punto
P en
BD de modo que \(\angle ACP = \angle C\). En otras palabras, contruí un triángulo isósceles
PCB.
PM y
AC se cortan en un punto, sea
X dicho punto. Luego prolongué
BX hasta que cortara a
CD en un punto
T. Hasta este recorrido, no encontré a primera vista nada interesante; intenté jugar con ángulos y utilizar teorema "chonchos" (como teorema de Ceva, ¡nunca falla!), pero no tuve mucho éxito (sí me falló Ceva, snif). Luego recordé algo interesante: por
C se trazó una perpendicular, lo que significa que hay un ángulo recto.
Al recordar esto, encontré algo muy interesante respecto al cuadrilátero
PXCT. ¿Qué será? Una de las propiedades de dicho cuadrilátero me ayudó a concluir que dos líneas eran paralelas, y esto me implicaba que una recta sí pasaba por el punto
X.
Ya con esto preparado, lo que sigue son cosas básicas: dos pares de congruencias de triángulos. Y con eso se deshace por completo este curioso problema. :)
Evidentemente, se dejan los detalles de la demostración al lector. :)
Epílogo.
Si quieren echarle un ojo a los otros cuatro problemas del examen, pueden hacerlo aquí:
http://www.mat.ucm.es/concursoprimavera/olimpiada_mayo/2012/enunciados_segundo_nivel_2012.pdf
