Reto 9–Trigonometry Attack, Episode 1

Los problemas siguientes se consideran “técnicos”, en el sentido de que quizá sean sólo cuentas. Sin embargo, creo que por el momento no nos hará daño realizar unos cuantos de estos peculiares problemas (además siento que se usa una que otra cosita que sí vimos en entrenamientos). Como no recuerdo si ya vimos la Ley de Senos Extendida, la añadiré como problema 0 :-) ¡Éxito!


Problema 0.
Demuestra la ley de senos extendida, es decir, dado un triángulo ABC con lados a, b, c, y además sabiendo que el radio de la circunferencia circunscrita (la de afuera) de dicho triángulo es R, demuestra que
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \]
Problema 1.
Dado un triángulo ABC con lados a, b, c, demuestra que
\[ a = b \cos C + c \cos B \]
Problema 2.
Dado un triángulo ABC, demuestra que
\[ \sin(B + C) = \sin B \cos C + \sin C \cos B \]
Problema 3.
Dado un triángulo ABC con lados a, b, c, demuestra que
\[ a(\sin B – \sin C) + b(\sin C – \sin A) + c(\sin A – \sin B) = 0 \]
Problema 4.
Dado un triángulo ABC con lados a, b, c, y además sabiendo que el radio de la circunferencia circunscrita de dicho triángulo es R, demuestra que
\[ area(ABC) = \frac{a b c}{4R} \]
Problema 5.Sea ABC un triángulo. Sean p y q los respectivos radios de las circunferencias que pasan por A tangentes a BC, donde una pasa por B y la otra pasa por C. Si R es el radio de la circunferencia circunscrita a ABC, demuestra que´
\[ pq = R^2 \]
Nota: Los problemas 0, 2 y 4 son “fórmulas conocidas”, se pueden citar sin demostración en un examen (pero si les da tiempo demuéstrenlas en sus soluciones, por si las moscas).

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