Teoría de Números - Rondas de Problemas

En el entrenamiento del domingo, hicimos rondas de problemas en las cuales los que asistimos pudimos participar en un mini concurso. El tema visto fue "teoría de números", sin embargo no se pudo ver el total de teoría que se quiso ver.

Ronda 1 (Ronda de Calentamiento)

Los problemas fueron:

1. Descompone en sus factores primos a \(N=47 292\).
2. Encuentra la mayor potencia de 3 que divida a \(N=181920\ldots 9495\).
3. ¿Cuántos ceros tiene al final \( 1000! \) ?
4. Encuentra tres enteros positivos distintos entre sí y distintos a 1 tales que su producto sea 100.
5. Encuentra el mayor entero positivo con todos sus dígitos diferentes tales que el producto de estos sea un cuadrado perfecto.

Para ello, vimos algunas deficiones típicas y propiedades básicas que suelen aparecer en problemas de este tipo. Se le invita al lector resolver los problemas de esta ronda en un lapso no mayor a 2 horas.

Ronda 2 (Ronda Final)

Los problemas fueron:

1. Encuentra el residuo de \(13 475\) al dividirlo entre 12.
2. ¿Cuál es el residuo de \(7^{2012}\) al dividirlo entre 6?
3. Determina la cantidad de enteros \(n\) que están entre 1 y 2012 tales que \(2^n + 1\) sea divisible por 3.
4. Encuentra todas las parejas de números primos \((p,q)\) tales que \(p^2-2q^2=1\).
5. Demuestra que si un entero positivo tiene una cantidad impar de divisores positivos, entonces dicho número es un cuadrado perfecto.
6. ¿Puede un número formado por cien 0'2, cien 1's y cien 2's ser un cuadrado perfecto?

También vimos un vistazo rápido a los criterios de divisibilidad. Nos enfocamos en el criterio del 7, pues es el que suele ser el menos conocido.

Problema de Bonus

Vimos la solución del siguiente problema: Demuestra que la raíz cuadrada de 2 es irracional.

Solución.

Supongamos que existen enteros \(a, b\) tales que

\[ \sqrt{2} = \frac{a}{b} \]

Podemos suponer que dicha fracción es irreducible, de modo que \((a,b)=1\), es decir, \(a, b\) son primos relativos. De la ecuación anterior podemos deducir que

\[ 2b^2 = a^2 \]

Del lado izquierdo tenemos un factor 2, así que 

\[ 2 | a^2 \] 

Ahora, como 2 es un número primo, concluimos que 

\[ 2|a\] 

por lo que 

\[ 4|a^2\] 

De este modo, ahora del lado izquierdo tenemos un factor 4, por lo que 

\[ 4 | 2b^2\] 

es decir, 

\[ 2|b^2\] 

lo que implica que \(2|b\), lo que es una contradicción. QED

Palabras Finales (o no tan finales)

Ya falta muy poco tiempo para el examen de 3ra etapa. Tienen que trabajar MUY DURO si de verdad quieren pasar a la siguiente etapa. Tienen el material, tienen a los entrenadores, sólo falta que se sienten en las tardes y resuelvan problemas de la manera más consistente posible. No se den por vencidos, su esfuerzo será recompensado al final del camino.