Más Problemas de Teoría de Números

Aprovecho mi momento de descanso para proponerles otra ronda de problemas de teoría de números. Éxito.

Ronda 3

1. Demuestra que todos los cuadrados perfectos son de la forma \(4k\) ó \(4k+1\).
2. Demuestra que ninguno de los números de la forma
   \[ 11, 111, 1111, 11111, \ldots \]
   es un cuadrado perfecto.
3. (Parte Fácil) Encuentra 5 enteros positivos \(n\) tales que \(n^2+23\) sea múltiplo de 24.
   (Parte no tan Fácil) Demuestra que hay una infinidad de dichas \(n\).
4. Demuestra que el cuadrado de todo número primo mayor que 3 deja residuo 1 al dividirlo entre 12.
5. Demuestra que si \(p\) y \(8p-1\) son primos, entonces \(8p+1\) es compuesto.

Sugerencia General

Ya no pudimos profundizar en unos trucos interesantes de la teoría de números. Les recomiendo en gran medida que se lean de la página 3 a la página 11: http://www.paginasprodigy.com/reynosom/OMM/notas.tn.grm.pdf