Gary de nuevo

¿Recuerdan este problema?

Problema 4.8. Gary está entrenando para el triatlón.  Durante un periodo de 30 días, él se ha propuesto entrenar al menos una vez al día y 45 veces en total. Prueba que entonces hay un periodo de días consecutivos en el que él entrena exactamente 14 veces.

Veremos a continuación una solución más corta a este problema, pero nuevamente la parte importante es el principio de las casillas que les explicó Denisse.

Solución 2.
Llamemos \(a_1, a_2, \ldots, a_{30}\) a las veces que ha entrenado Gary hasta el día 1, día 2, ..., día 30, respectivamente.

Tenemos que
\[ 1 \leq a_1 < a_2 < \ldots < a_{29} < a_{30} = 45 \]
(¿Por qué?) Si le sumamos 14 a cada elemento, obtenemos
\[15 \leq a_1 + 14 < a_2 + 14 < \ldots < a_{29} + 14 < a_{30} + 14 = 59\]
Esto significa que tenemos 60 números enteros positivos
\[ a_1, a_2, \ldots, a_{30}, a_1 + 14, a_2 + 14, \ldots, a_{30} + 14\]
que son menores o iguales a 59, así que por el principio de las casillas tenemos que dos de ellos deben ser iguales. Más aun, uno debe ser de la forma \(a_i\) y el otro debe ser de la forma \(a_k + 14\). Por lo tanto,
\[ a_i = a_k + 14\quad \Rightarrow \quad a_i - a_k = 14\]
Esto significa que entre el día \(k\) y el día \(i\), Gary entrenó 14 veces exactamente. \(\square\).

¿Cómo ven esta otra solución? Más bonita que la otra, ¿no?