NOTA: Es altamente recomendado que hagas los dibujos por tu cuenta, guiándote de los dibujos que se te presentarán. Así comprenderás mejor qué quieren decir las propiedades, además de ir ganando agilidad al momento de dibujar y para ir reconociendo los patrones en las figuras.
NOTA: En este texto se utilizarán letras griegas para darle nombre a los ángulos. A continuación mostramos algunas de ellas para familiarizarse con esta notación:
Propiedades Básicas
Propiedad 1: Ángulos alrededor de un punto
La suma de los ángulos alrededor de un punto siempre es \(360^{\circ}\), sin importar la cantidad de ángulos que haya.
Propiedad 2: Ángulos en una línea
La suma de los ángulos en una línea siempre es \(180^{\circ}\). A los ángulos que miden \(180^{\circ}\) se les llama ángulos llanos.
NOTA CULTURAL:
Si dos ángulos suman \(180^{\circ}\) ó \(90^{\circ}\), a veces se puede extraer información útil para resolver un problema. Estos ángulos tienen sus respectivos nombres:
- Si dos ángulos suman \(180^{\circ}\), entonces se llaman ángulos suplementarios.
- Si dos ángulos suman \(90^{\circ}\), entonces se llaman ángulos complementarios.
Propiedad 3: Ángulos opuestos por el vértice
Cuando dos líneas se cruzan (dos líneas secantes), se forman cuatro ángulos. Cada par de ángulos que están opuestos respecto al vértice son iguales (ángulos opuestos por el vértice).
NOTA: La "comita" que está después de las letras de la figura se pronuncia "prima".
(Se pronuncia "alfa igual a alfa prima, beta igual a beta prima")
Comprueba que esta propiedad es verdadera utilizando la propiedad 2. (Esto se llama demostrar algo).
Ángulos entre Paralelas
Propiedad 4: Ángulos correspondientes
En la figura se pueden apreciar dos líneas paralelas (es decir, por más que se prolonguen no se cruzarán entre sí). También se pueden ver dos ángulos marcados. Estos dos ángulos se conocen como ángulos correspondientes, y tienen la propiedad de ser iguales.
Propiedad 5: Ángulos alternos
En la figura se tienen dos líneas paralelas. Se han marcado cuatro ángulos: los dos que están "por fuera" (respecto a las líneas paralelas) se llaman ángulos alternos externos, y los que quedan "por dentro" se llaman ángulos alternos internos. Cada uno de estos pares de ángulos cumplen con la propiedad de ser iguales entre sí.
Demuestra esta propiedad, utilizando algunas de las propiedades anteriores.
Triángulos
Propiedad 6: Suma de ángulos en un triángulo
En un triángulo ABC, los ángulos siempre suman \(180^{\circ}\).
¿Cómo demuestras esta propiedad? La propiedad 2 se ve sospechosa, pero ¿cómo utilizarla?
Propiedad 7: Ángulos en un triángulo isósceles
Un triángulo isósceles es aquel que tiene dos lados exactamente iguales. Un triángulo isósceles cumple con que los ángulos opuestos a los lados iguales, son iguales (parece trabalenguas, pero con la figura quedará un poco más claro lo que se quiere decir).
NOTA: En ocasiones, cuando se quiere indicar que dos lados o dos ángulos son iguales, se marcan con el mismo símbolo (por ejemplo, en el caso de la figura los dos lados iguales se marcaron con una rayita).
NOTA: Se puede nombrar un ángulo con los vértices (puntos) que lo conforman. El vértice que queda enmedio es justamente donde se encuentra el ángulo.
Propiedad 8: Ángulos en un triángulo equilátero
Un triángulo equilátero es el que tiene sus tres lados exactamente iguales. Los tres ángulos de un triángulo equilátero son iguales.
¡Retooo! (clic para mostrar/ocultar el reto)
Demuestra esta sencilla pero útil propiedad.
NOTA CULTURAL:
Los ángulos se clasifican por su medida:
- Un ángulo agudo es aque que es menor a \(90^{\circ}\).
- Un ángulo recto es el que mide exactamente \(90^{\circ}\).
- Un ángulo obtuso es el que es mayor a \(90^{\circ}\).
Propiedad 9: Ángulos externo
Cuando se tiene un triángulo y se extiende uno de sus lados, se forma un ángulo con esta prolongación y el lado adyacente. Este ángulo se conoce como ángulo externo. El ángulo externo tiene la propiedad de ser igual a la suma de los ángulos internos no adyacentes (otro trabalenguas, pero la figura nos ayudará).
¡Retooo! (clic para mostrar/ocultar el reto)
Esta propiedad es muy sencilla de demostrar. ¡Adelante!
Propiedad 10: Ángulo mayor VS Lado mayor
En un triángulo, si un lado es mayor a otro entonces el ángulo opuesto al primero (al lado mayor) es más grande que el ángulo opuesto al segundo (al lado menor). En la figura, se tiene que el lado CA es mayor al lado CB.
¡Retooo! (clic para mostrar/ocultar el reto)
Para demostrar esta curiosa propiedad, intenta pensar cómo introducir alguna o algunas de las propiedades vistas. Para ello, una idea que te puede ayudar es prolongar el lado CB para que mida exactamente igual que CA, y trazar un nuevo triángulo que se forma al unir el nuevo vértice (formado por la prolongación) con A. Esto hará que se fome un triángulo isósceles. ¡Genial! Aunque, ¿eso de qué ayuda?
NOTA CULTURAL:
Los triángulos se pueden clasificar por sus ángulos internos:
- Un triángulo acutángulo es aquel cuyos ángulos internos son agudos.
- Un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto.
- Un triángulo obtusángulo es aquel que tiene un ángulo obtusángulo.
Con esto concluímos la primera parte de ángulos. En el bloque 2, veremos un poco más de ángulos pero en esta ocasión los trabajaremos dentro de unas figuras muy peculiares: los círculos. ¡Hasta la próxima!
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