Geometría - Reto 2

¡Es hora de un reto!

Problema 1.
¿Recuerdas la propiedad 1 del bloque anterior? El que dice que el ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco. Tu primer reto será demostrar esta importante propiedad. Para ello, te sugerimos que vayas demostrando cada uno de los posibles casos:

- CASO 1
Uno de los lados del ángulo inscrito pasa por el centro de la circunferencia. Este caso es el más sencillo de probar. ¡Adelante!

- CASO 2
El ángulo central queda "por dentro" del ángulo inscrito. Este es un poco truculento, pero el caso 1 nos puede ayudar a demostrarlo.

- CASO 3
El ángulo central queda "por fuera" del ángulo inscrito. ¿Cómo le hacemos en este caso?

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Problema 2.
El siguiente reto será demostrar la propiedad 2: el ángulo semi-inscrito es igual a la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco. ¡Adelante!

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Problema 3.
En un círculo con centro O, AD es un diámetro, ABC es una cuerda, BO mide 5 y \(\angle ABO = \widehat{DC} = 60^{\circ}\) como se muestra en la figura. ¿Cuánto vale la longitud de BC?

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Problema 4.
Dos circunferencias \(C_1\) y \(C_2\) se cortan en los puntos A y B. Se traza una recta L que corta a \(C_1\) en C y en D, y a \(C_2\) en M y en N, de tal manera que A y B quedan en distintos lados de L. Demuestra que \(\angle CAN + \angle MBD = 180^{\circ}\).

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Problema 5.
Dos circunferencias son tangentes exteriormente en un punto A. B es un punto de la primera circunferencia, y C es un punto de la otra, de manera que BC es una tangente común externa de ambas circunferencias. Demuestra que \(\angle BAC = 90^{\circ}\).

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Como ves, la dificultad de los problemas irá subiendo poco a poco. Es buena idea que revises los términos y las ideas que se proponen en los bloques, y si tienes duda en algo no dudes en ponerte en contacto con alguno de los entrenadores, o con tus compañeros olímpicos para que discutan sobre las dudas que puedan tener entre ustedes.

¡Hasta la próxima!