Reto 1 - 3ra Etapa 2012

El reto consiste en resolver el examen de nivel uno. Hubo dos niveles: nivel uno (secundarias) y nivel dos (preparatorias y de secundaria con previo entrenamiento). Los problemas fueron los siguientes:

NIVEL UNO 

Problema 1.
Se tienen 2012 tarjetas numeradas del de la 1 a la 6 y se preguntara por cuántas cartas quedan al recoger la carta 6, la respuesta será 1 pues se habrán recogido, en orden, las cartas con números 1, 3, 5, 2 y 6 así que sólo quedarvuelve a comenzar con las cartas que quedan en la fila, así que se recoge la 2 y se deja la 4, se recoge la 6 y se deja la 8 y así sucesivamente. Cuando se llega al final de la fila, se vuelve a empezar.

¿Cuántas cartas quedan en la fila en el momento que se recoge la carta 2012? (Por ejemplo, si sólo hubiera cartas de la 1 a la 6 y se preguntara por cuántas cartas quedan al recoger la carta 6, la respuesta será 1 pues se habrán recogido, en orden, las cartas con números 1, 3, 5, 2 y 6 así que sólo quedará la 4.)


Problema 2.
Diana tiene un reloj digital que marca sólo las horas y los minutos. Si el número de las horas va desde el 0 hasta el 23, y el de los minutos va desde el 0 hasta el 59, ¿cuántas veces sucede, a lo largo de un día completo, que el número de las horas divide al número de los minutos en el reloj de Diana?


Problema 3.
El cuadrado ABCD tiene lados de longitud 2; E y F son los puntos medios de los lados AB y AD, respectivamente, y G es un punto en CF tal que 3CG = 2GF (ver la fi gura). ¿Cuál es el área del triángulo BEG?

NIVEL DOS 

Problema 1.
Los ángulos de un triángulo son A, B y C, de forma que \(A \leq B \leq C\). Si A, B y C son múltiplos de 15, ¿cuántos valores posibles para los ángulos (A, B, C) existen?

Problema 2.
En un tablero de \(1 \times 2012\) se encuentran escritos los números del 1 al 2012, no necesariamente en orden. Dos jugadores A y B juegan por turnos, cada uno haciendo una jugada por turno. El jugador A comienza. Una jugada consiste en tomar una casilla y pintarla de rojo o azul. Una casilla pintada no puede volver a ser coloreada. Cuando se pinta todo el tablero, se toman las casillas coloreadas con azul y se suman los números en ellos. Si el número resultante es divisible entre 3, gana B. De lo contrario, gana A.

¿Quién tiene una estrategia ganadora, y cuál es?

Problema 3.
Sea AD el diámetro de un semicírculo. Se toman puntos B y C sobre el arco, de tal manera que \(AB = BC\). Sea P el punto de intersección de AC y BD. Demuestra que \(AD \cdot BC + BD \cdot PC = BD \cdot AC\).

Recompensa: 100 EXP