La Mala Noticia: Como podrás imaginarte, hay una gran variedad de problemas matemáticos, y cada uno de ellos tiene una manera peculiar de atacarlo. Por ello, la mala noticia es que no hay una fórmula mágica, una receta mágica que nos diga cómo resolver cada uno de los problemas de matemáticas que enfrentemos.
La Buena Noticia: Con la práctica, verás que cada vez resuelves una mayor cantidad de problemas. La práctica te ayudará como no te imaginas. Y para ayudarte a practicar, la buena noticia es que hay algunas sugerencias o tips que te pueden guiar en tus primeros pasos de olímpico, y con los cuales podrás aprender después trucos más avanzados.
A continuación mostraremos los 4 pasos de Pólya para resolver problemas, que, como dijimos antes, sólo es una guía para ayudarnos a atacar problemas:
- PASO 1: ENTIENDE EL PROBLEMA
- ¿Entiendes el enunciado del problema?
- ¿Hay alguna palabra que no reconozcas?
- ¿Puedes rescribir el problema con tus propias palabras?
- ¿Logras identificar las información que da el problema y lo que te está pidiendo?
- Entre otras preguntas...
- ¿Entiendes el enunciado del problema?
- PASO 2: ELABORA UN PLAN DE ATAQUE
- ¿Puedes representar la información en una tabla?
- ¿Es posible expresar matemáticamente los datos del problema?
- ¿Recuerdas alguna fórmula que pueda estar relacionada con los datos?
- ¿Puedes utilizar esquemas o dibujos para representar cierta información que te da el problema?
- Entre otras preguntas...
- PASO 3: EJECUTA TU PLAN
- PASO 4: MIRA HACIA ATRÁS
- ¿Usaste todos los datos importantes del problema?
- ¿Todos tus pasos son correctos?
- ¿Logras ver si hay un camino más corto?
- ¿Tiene sentido la respuesta que encontraste?
Si se quiere, podemos resumir los 4 pasos de la siguiente manera:
ENTIENDE -> ANALIZA -> INTENTA -> REVISA
Podemos hacer un ejemplo para ver estos cuatro pasos en acción.
PROBLEMA.
En la siguiente figura, se quieren colocar los números 1, 2, 3, 4 y 5 dentro de cada círculo de manera que ningún número se repita y que la suma vertical y la suma horizontal sea la misma. ¿De qué manera deben acomodarse los números?
En la siguiente figura, se quieren colocar los números 1, 2, 3, 4 y 5 dentro de cada círculo de manera que ningún número se repita y que la suma vertical y la suma horizontal sea la misma. ¿De qué manera deben acomodarse los números?
Paso 1. Entender el Problema.
¿Entendemos el problema? Podemos separar la información y analizar cada parte:
- "se quieren colocar los números 1, 2, 3, 4 y 5": Esto significa que sólo disponemos de esos números, no podemos usar ni el 6 ni el 7 ni ningún otro mas que esos.
- "de manera que ningún número se repita": Además de que sólo tenemos los números del 1 al 5, no podemos poner el mismo número en dos círculos distintos.
- "y que la suma vertical y la suma horizontal sea la misma": ¿Esto qué significa?
Esta última oración parece ser la más importante, pero ¿qué significa? Recordemos que horizontal significa "hacia los lados" y vertical significa "hacia arriba o abajo". Entonces, en este problema ¿cuál sería la suma horizontal y la suma vertical?
Para la suma horizontal, nos deberíamos de fijar en la suma de los números que pongamos en estos tres círculos:
Y para la suma vertical, nos deberíamos de fijar en estos tres círculos:
¡BINGO! Ya entendimos el problema: Se quiere que acomodemos los números del 1 al 5 para que la suma de los primeros tres círculos (flecha verde) sea igual a la suma de los otros tres círculos (flecha azul). Ahora bien: ¿Cómo le hacemos?
Paso 2. Elaborar un Plan.
Podríamos intentar varias cosas. Lo primero que se nos podría venir a la mente es colocar los números al azar y comprobar que las dos sumas son iguales, y si no dan entonces intentar con otro arreglo al azar. Esto se podría complicar, claro, pero es un plan, y por más absurdo que sea no tenemos porqué desecharlo. Lo que si podemos hacer es pensar si hay algún otro plan que podríamos intentar aplicar.
Otra idea sería fijarnos en uno de los cinco círculos, uno que tiene una curiosidad. Si nos fijamos en las dos flechas al mismo tiempo, nos damos cuenta de que tienen un círculo en común: el círculo de enmedio.
Entonces, otro plan sería fijarnos en ese circulito e intentar trabajar apartir de ahí. Al poner un número en ese círculo central, nuestro problema se reduce a que la suma de los círculos exteriores de cada flecha sea la misma, es decir, hemos eliminado un circulito y sólo deberíamos de fijarnos en la suma de esos cuatro: dos de la flecha verde, y dos de la flecha azul (los exteriores serían los que no son el central). Este plan se ve más prometedor que el de ir poniendo los números a lo loco, ¿a poco no?
Paso 3. ¡Atacar!
Ok, intentemos poner en acción nuestro segundo plan, es decir, fijarnos que el número central aparece tanto en la suma horizontal como en la suma vertical. Esto nos lleva a que sólo debemos de acomodar bien la suma de los extremos para finalizar el problema.
Entonces nos preguntamos: ¿Podemos agrupar por parejitas los números para que nos den sumas iguales? Por ejemplo, si pensáramos en números al azar, como el 10 y el 13, y los sumamos, el resultado es 23. ¿Hay otra pareja de números que de 23? Si, y de hecho muchas ¿no? 9 y 14, 8 y 15, 9 y 14, etc etc etc. En nuestro problema actual, ¿podemos hacer algo parecido con los números 1, 2, 3, 4 y 5?
Si ponemos nuestros cinco números en fila, podemos hacer algo chistoso: agrupar el primero con el último, y el segundo con el cuarto. Esto nos asegura que tendremos la misma suma:
Vemos que: 1+5 = 6, y que 2+4=6. ¡Espera! Eso se ve... ¡interesante! Esto nos invita a poner el 1 y el 5 en un extremo, y el 2 y el 4 en otro extremo, y con esto poner el 3 en el centro:
Paso 4. ¿Acabamos?
Por último, necesitamos verificar que nuestro resultado es correcto y tiene sentido.
- Suma horizontal: 1 + 3 + 5 = 9.
- Suma vertical: 2 + 3 + 4 = 9.
¿Son la sumas iguales? ¡Si! Por lo tanto, hemos concluído el problema ;)
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